Est-ce que 0 appartient à ℤ ? Une question (pas si) bête
ℤ, c’est quoi déjà ?
Bon, avant de se lancer tête baissée dans la question, on va faire un petit rappel. ℤ (l’ensemble des nombres entiers relatifs), c’est quoi exactement ?
ℤ, c’est tous les nombres entiers, positifs comme négatifs :
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \}Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}Donc, à première vue, oui, 0 appartient bien à ℤ ! Mais est-ce si évident ?
Pourquoi se pose-t-on cette question ?
Tiens, l’autre jour, mon pote Julien (qui adore compliquer les choses) m’a demandé : "T’es sûr que 0 est un entier relatif ? Ça fait pas partie des naturels, plutôt ?"
Et là, j’ai eu un doute. Parce que oui, dans certaines notations, 0 appartient aux entiers naturels ℕ, et dans d’autres non.
0 est-il un entier relatif ?
La réponse est claire : OUI, 0 fait bien partie de ℤ.
Pourquoi ?
ℤ inclut tous les entiers négatifs et positifs → et 0 est bien un entier.
Les entiers relatifs sont définis comme l’ensemble ℕ étendu aux négatifs → donc forcément, 0 y est.
Dans toutes les conventions mathématiques standard, 0 est bien dans ℤ.
Mais 0 est-il aussi un entier naturel ?
Ah, voilà une question plus intéressante !
Selon certaines conventions, ℕ commence à 1 :
N∗={1,2,3,4,…}\mathbb{N}^* = \{ 1, 2, 3, 4, … \}N∗={1,2,3,4,…}Donc dans ce cas, 0 n’est PAS un entier naturel.
Mais d’autres définitions incluent 0 dans ℕ :
N={0,1,2,3,…}\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, … \}N={0,1,2,3,…}Certains mathématiciens préfèrent cette version, notamment en informatique et en théorie des ensembles.
Donc ici, ça dépend des définitions, mais pour ℤ, pas de débat : 0 en fait partie.
Pourquoi cette question revient souvent ?
Je pense que le flou vient du fait que 0 est un peu un cas à part en mathématiques :
- Ce n’est ni positif, ni négatif.
- Il a des propriétés uniques (additif neutre, par exemple).
- Selon les contextes, il peut ou non être inclus dans un ensemble (comme ℕ).
Conclusion : 0 appartient bien à ℤ !
Donc, si quelqu’un vous repose la question, la réponse est simple :
Oui, 0 fait bien partie des entiers relatifs ℤ.
Pour ℕ (les naturels), ça dépend des conventions.
Et toi, t’avais déjà douté de ça ? Moi, je pensais que c’était évident… jusqu’à ce que Julien me fasse cogiter !
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